數(shù)學(xué)史上的三大危機分別為無理數(shù)理論，微積分理論，羅素悖論，數(shù)學(xué)史上的三大猜想分別為費馬大定理，四色定理，哥德巴赫猜想，這三大危機和三大猜想都間接地推動了整個數(shù)學(xué)理論的進步，許許多多的數(shù)學(xué)家也因此付出了巨大的貢獻，才有了今天數(shù)學(xué)的偉大輝煌。
一、無理數(shù)理論
眾所周知，世界上所有的實數(shù)都可以分為有理數(shù)和無理數(shù)。然而，在最初的時候并沒有發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的存在，所以很多數(shù)學(xué)家認為所有數(shù)都是有限小數(shù)，而希帕蘇斯首先提出了二的算術(shù)平方根概念，發(fā)現(xiàn)了世界上有一類數(shù)，他們是無限不循環(huán)小數(shù)，然而遭受了當(dāng)時科學(xué)界的否定。
二、微積分理論
微積分是世界數(shù)學(xué)史上璀璨的輝煌，微積分使用微元的概念，解決了很多不能夠解決的問題。特別對于復(fù)雜的圖形，有很厲害的求解作用，但是由于微積分剛提出來的時候，理論非常復(fù)雜，沒有在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界廣為接受。
三、羅素悖論
羅素悖論是對于集合理論的悖論，世界上所有的物體都能夠通過集合來表達，但是羅素指出，如果一個集合中所有的元素都不是他本來的元素，那么這樣的一個集合是否還能表現(xiàn)為原有的集合，這理論被稱為羅素悖論，后來根據(jù)數(shù)學(xué)家修改集合的定義規(guī)則，才避免了這樣的悖論。
四、費馬大定理
費馬大定理有這樣一個猜想當(dāng)整數(shù)n > 2時，關(guān)于x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n 無正整數(shù)解。這樣的一個看似簡單的地理，后來經(jīng)過后世許多人的證明，終于確定費馬大定理成立，是數(shù)學(xué)史上的一個偉大猜想。
五、四色定理
四色定理表明，如果許多國家圍繞著一個點擁有很多的邊界，那么只要用四種顏色就能夠?qū)⑺械膰胰繀^(qū)分開來，四色定理是對二維空間的終極解釋，也表明了兩個直線，只要相交一定有四個區(qū)的出現(xiàn)。
六、哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想，如果把1算做一個質(zhì)數(shù)，那么世界上任何大于二的數(shù)都可以由三個質(zhì)數(shù)通過相加的方式得成，后來科學(xué)家們經(jīng)過艱難的計算，終于算出了哥德巴赫猜想。
